Somme de puissances de 3 - Corrigé

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(5\) . Montrer que \(p\) divise \(1+3+3^2+...+3^{p-2}\) .

Solution

On note \(S\) la somme \(S=1+3+3^2+...+3^{p-2}\) .

On a alors :  \(\begin{align*}S=\sum\limits_{k=0}^{p-2} 3^k=\frac{1-3^{p-1}}{1-3}=\frac{3^{p-1}-1}{2}\end{align*}\)  donc \(2S=3^{p-1}-1\) .

Comme \(p\) est un nombre premier supérieur ou égal à \(5\) , il ne divise pas \(3\) , donc d'après le petit théorème de Fermat (forme forte), on a :  \(3^{p-1}-1 \equiv 0 \ [p]\) . Ainsi, \(2S\) est divisible par \(p\) .

De plus, \(p\) et \(2\) sont premiers entre eux, car \(p\) est un nombre premier strictement supérieur à \(2\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(S\) est divisible par \(p\) .